«В 1740 году математик Пьер Луи Моро де Мопертюи , критически анализируя принцип Ферма и следуя теологическим мотивам о совершенстве и наиболее экономном устройстве Вселенной, провозгласил […] принцип наименьшего действия. Мопертюи отказался от наименьшего времени Ферма и ввёл новое понятие - действие. Действие равняется произведению импульса тела (количества движения Р = mV) на пройденный телом путь».
Голубинцев О., Концепции современного естествознания, Ростов-на-Дону, «Феникс»,2007 г., с.144-147.
«Количество действия, необходимое для того, чтобы произвести некоторое изменение в природе, является наименьшим возможным».
Пьер Мопертюи, Соотношения между общими принципами покоя и движения / в Сб. статей классиков науки. Под редакцией Полака Л.С., М., «Физматгиз», 1959 г., с. 5.
«Мемуар вызвал среди учёных того времени ожесточенную полемику, далеко выходящую за рамки механики. Главным предметом спора было: являются ли события, происходящие в мире, причинно обусловленными или они телеологически направляются неким высшим разумом посредством «конечных причин», то есть, целей?
Сам Мопертюи подчёркивал и отстаивал телеологический характер своего принципа и прямо утверждал, что «экономия действия» в природе доказывает существование Бога. Последний тезис вызвал резкий отпор со стороны материалистически настроенных учёных и публицистов того времени (Д’Аламбер , Дарси, Вольтер).
Дискуссия велась и по другим направлениям, в частности, критиковалось определение действия, предложенное Мопертюи. Ряд авторов отрицал универсальный характер этого принципа, некоторые приводили примеры «истинных» движений, в которых «действие» не минимально, а наоборот, максимально. Велись споры и по вопросу о приоритете».
Голицын Г.А., Информация и творчество: на пути к интегральной культуре, М., «Русский мир», 1997 г., с. 20.
2.2. Принцип наименьшего действия
В XVIII веке происходит дальнейшее накопление и систематизация научных результатов, отмеченные тенденцией объединения отдельных научных достижений в строго упорядоченную, связную картину мира с помощью систематического применения методов математического анализа к исследованию физических явлений. Работа многих блестящих умов в этом направлении привела к созданию базисной теории механистической исследовательской программы - аналитической механики, на основе положений которой были созданы различные фундаментальные теории, описывающие конкретный класс конк-
ретных явлений: гидродинамика, теория упругости, аэродинамика и т. д. Одним из важнейших результатов аналитической механики является принцип наименьшего действия (вариационный принцип), имеющий важное значение для понимания процессов, происходящих в физике конца XX века.
Корни возникновения вариационных принципов в науке уходят в Древнюю Грецию и связаны с именем Геро-на из Александрии. Идея любого вариационного принципа состоит в том, чтобы варьировать (изменять) некоторую величину, характеризующую данный процесс, и отбирать из всех возможных процессов тот, для которого данная величина принимает экстремальное (максимальное или минимальное) значение. Герон попытался объяснить законы отражения света, варьируя величину, характеризующую длину пути, проходимым лучом света от источника к наблюдателю при отражении его от зеркала. Он пришел к выводу, что из всех возможных путей луч света выбирает кратчайший (из всех геометрически возможных).
В XVII веке, спустя две тысячи лет, французский математик Ферма обратил внимание на принцип Герона, распространил его для сред с различными показателями преломления, переформулировав его в связи с этим в терминах времени. Принцип Ферма гласит: в преломляющей среде, свойства которой не зависят от времени, световой луч, проходя через две точки, выбирает себе такой путь, чтобы время, необходимое ему для прохождения от первой точки ко второй, было минимальным. Принцип Герона оказывается частным случаем принципа Ферма для сред с постоянным коэффициентом преломления.
Принцип Ферма привлек пристальное внимание современников. С одной стороны, он как нельзя лучше свидетельствовал о «принципе экономии» в природе, о рациональном божественном замысле, реализованном в устройстве мира, с другой - он противоречил ньютоновской корпускулярной теории света. Согласно Ньютону получалось, что в более плотных средах скорость света должна быть больше, в то время как из принципа Ферма вытекало, что в таких средах скорость света становится меньшей.
В 1740 году математик Пьер Луи Моро де Мопертюи, критически анализируя принцип Ферма и следуя теоло-
гическим
мотивам о совершенстве и наиболее
экономном устройстве Вселенной,
провозгласил в работе «О различных
законах природы, казавшихся несовместимыми»
принцип
наименьшего действия. Мопертюи отказался
от наименьшего
времени Ферма и ввел новое понятие -
действие.
Действие равняется произведению импульса
тела (количества
движения Р = mV)
на
пройденный телом путь. Время
не имеет какого-либо преимущества перед
пространством,
равно как и наоборот. Поэтому свет
выбирает не кратчайший
путь и не наименьшее время для его
прохождения,
а согласно Мопертюи, «выбирает путь,
дающий более реальную экономию: путь,
по которому он следует, - это
путь, на котором величина действия
минимальна». Принцип
наименьшего действия в дальнейшем был
развит в
работах Эйлера и Лагранжа; он явился
основой, на которой Лагранж развил
новую область математического анализа
- вариационное исчисление. Дальнейшее
обобщение
и завершенную форму этот принцип получил
в работах
Гамильтона. В обобщенном виде принцип
наименьшего действия использует
понятие действия, выраженного не через
импульс, а через функцию Лагранжа. Для
случая одной
частицы, движущейся в некотором
потенциальном поле, функция Лагранжа
может быть представлена как разность
кинетической
и
потенциальной энергии:
(Понятие «энергия» подробно обсуждается в главе 3 настоящего раздела.)
Произведениеназывается элементарным действием. Полным действием называется сумма всех значений на всем рассматриваемом интервале времен, иными словами, полное действие А:
Уравнения движения частицы могут быть получены с помощью принципа наименьшего действия, согласно которому реальное движение происходит так, что действие оказывается экстремальным, то есть его вариация обращается в 0:
Вариационный принцип Лагранжа-Гамильтона легко допускает распространение на системы, состоящие из не-
скольких (множества) частиц. Движение таких систем обычно рассматривают в абстрактном пространстве (удобный математический прием) большого числа измерений. Скажем, для N точек вводят некоторое абстрактное пространство 3N координат N частиц, образующих систему, называемую конфигурационным пространством. Последовательность различных состояний системы изображается кривой в этом конфигурационном пространстве - траекторией. Рассматривая все возможные пути, соединяющие две заданные точки этого 3N-Mepнoгo пространства, можно убедиться, что реальное движение системы происходит в соответствии с принципом наименьшего действия: среди всех возможных траекторий реализуется та, для которой действие экстремально по всему интервалу времени движения.
При минимизации действия в классической механике получают уравнения Эйлера-Лагранжа, связь которых с законами Ньютона хорошо известна. Уравнения Эйлера-Лагранжа для лагранжиана классического электромагнитного поля оказываются уравнениями Максвелла. Таким образом, мы видим, что использование лагранжиана и принципа наименьшего действия позволяет задавать динамику частиц. Однако лагранжиан обладает еще одной важной особенностью, что и сделало лагранжев формализм основным в решении практически всех задач современной физики. Дело в том, что наряду с ньютоновской механикой в физике уже в XIX веке были сформулированы законы сохранения для некоторых физических величин: закон сохранения энергии, закон сохранения импульса, закон сохранения момента импульса, закон сохранения электрического заряда. Число законов сохранения в связи с развитием квантовой физики и физики элементарных частиц в нашем столетии стало еще больше. Возникает вопрос, как найти общую основу для записи как уравнений движения (скажем, законов Ньютона или уравнений Максвелла), так и сохраняющихся во времени величин. Оказалось, что такой основой является использование лагранжева формализма, ибо лагранжиан конкретной теории оказывается инвариантным (неизменным) относительно преобразований, соответствующих конкретному рассматриваемому в данной теории абстрактному пространству, следствием чего и являются законы сохранения. Эти особенности лагранжиа-
на привели к целесообразности формулировки физических теорий на языке лагранжианов. Осознание этого обстоятельства пришло в физику благодаря возникновению теории относительности Эйнштейна.
Знаете ли Вы,
что такое мысленный эксперимент, gedanken experiment?
Это несуществующая практика, потусторонний опыт, воображение того, чего нет на самом деле. Мысленные эксперименты подобны снам наяву. Они рождают чудовищ. В отличие от физического эксперимента, который является опытной проверкой гипотез, "мысленный эксперимент" фокуснически подменяет экспериментальную проверку желаемыми, не проверенными на практике выводами, манипулируя логикообразными построениями, реально нарушающими саму логику путем использования недоказанных посылок в качестве доказанных, то есть путем подмены. Таким образом, основной задачей заявителей "мысленных экспериментов" является обман слушателя или читателя путем замены настоящего физического эксперимента его "куклой" - фиктивными рассуждениями под честное слово без самой физической проверки.
Заполнение физики воображаемыми, "мысленными экспериментами" привело к возникновению абсурдной сюрреалистической, спутанно-запутанной картины мира. Настоящий исследователь должен отличать такие "фантики" от настоящих ценностей.
Релятивисты и позитивисты утверждают, что "мысленный эксперимент" весьма полезный интрумент для проверки теорий (также возникающих в нашем уме) на непротиворечивость. В этом они обманывают людей, так как любая проверка может осуществляться только независимым от объекта проверки источником. Сам заявитель гипотезы не может быть проверкой своего же заявления, так как причина самого этого заявления есть отсутствие видимых для заявителя противоречий в заявлении.
Это мы видим на примере СТО и ОТО, превратившихся в своеобразный вид религии, управляющей наукой и общественным мнением. Никакое количество фактов, противоречащих им, не может преодолеть формулу Эйнштейна: "Если факт не соответствует теории - измените факт" (В другом варианте " - Факт не соответствует теории? - Тем хуже для факта").
Максимально, на что может претендовать "мысленный эксперимент" - это только на внутреннюю непротиворечивость гипотезы в рамках собственной, часто отнюдь не истинной логики заявителя. Соответсвие практике это не проверяет. Настоящая проверка может состояться только в действительном физическом эксперименте.
Эксперимент на то и эксперимент, что он есть не изощрение мысли, а проверка мысли. Непротиворечивая внутри себя мысль не может сама себя проверить. Это доказано Куртом Гёделем.
Когда я впервые узнал об этом принципе, у меня возникло ощущение какой-то мистики. Такое впечатление, что природа таинственным образом перебирает все возможные пути движения системы и выбирает из них самый лучший. Сегодня я хочу немного рассказать об одном из самых замечательных физических принципов – принципе наименьшего действия.
Предыстория
Со времен Галилея было известно, что тела, на которые не действуют никакие силы, двигаются по прямым линиям, то есть по кратчайшему пути. По прямым линиям распространяются и световые лучи.
При отражении свет также двигается таким образом, чтобы добраться из одной точки в другую кратчайшим путем. На картинке кратчайшим будет зеленый путь, при котором угол падения равен углу отражения. Любой другой путь, например, красный, окажется длиннее.
Это несложно доказать, просто отразив пути лучей на противоположную сторону от зеркала. На картинке они показаны пунктиром.
Видно, что зеленый путь ACB превращается в прямую ACB’. А красный путь превращается в изломанную линию ADB’, которая, конечно длиннее зеленой.
В 1662 Пьер Ферма предположил, что скорость света в плотном веществе, например, в стекле, меньше, чем в воздухе. До этого общепринятой была версия Декарта, согласно которой скорость света в веществе должна быть больше, чем в воздухе, чтобы получался правильный закон преломления. Для Ферма предположение, что свет может двигаться в более плотной среде быстрее, чем в разреженной казалось противоестественным. Поэтому он предположил, что все в точности наоборот и доказал удивительную вещь – при таком предположении свет преломляется так, чтобы достичь место назначения за минимальное время.
На рисунке опять, зеленым цветом показан путь, по которому в действительности двигается световой луч. Путь, отмеченный красным цветом, является кратчайшим, но не самым быстрым, потому что свету приходится больший путь проходить в стекле, а в нем его скорость меньше. Самым быстрым является именно реальный путь прохождения светового луча.
Все эти факты наводили на мысль, что природа действует каким-то рациональным образом, свет и тела двигаются наиболее оптимально, затрачивая как можно меньше усилий. Но что это за усилия, и как их посчитать оставалось загадкой.
В 1744 Мопертюи вводит понятие «действия» и формулирует принцип, согласно которому истинная траектория частицы отличается от любой другой тем, что действие для неё является минимальным. Однако сам Мопертюи, так и не смог дать четкого определения чему равно это действие. Строгая математическая формулировка принципа наименьшего действия была разработана уже другими математиками – Эйлером, Лагранжем, и окончательно была дана Уильямом Гамильтоном:
На математическом языке принцип наименьшего действия формулируется достаточно кратко, однако не для всех читателей может быть понятен смысл используемых обозначений. Я хочу попытаться объяснить этот принцип более наглядно и простыми словами.
Свободное тело
Итак, представьте, что вы сидите в машине в точке AA и в момент времени t A вам дана простая задача: к моменту времени t B вам нужно доехать на машине до точки B.
Топливо для машины дорого стоит и, конечно, вам хочется потратить его как можно меньше. Машина у вас сделана по новейшим супер-технологиям и может разгоняться или тормозить как угодно быстро. Однако, устроена она так, что чем быстрее она едет, тем больше потребляет топлива.
Причем потребление топлива пропорционально квадрату скорости. Если вы едете в два раза быстрее, то за тот же промежуток времени потребляете в 4 раза больше топлива. Кроме скорости, на потребление топлива, конечно же влияет и масса автомобиля. Чем тяжелее наш автомобиль, тем больше топлива он потребляет. У нашего автомобиля потребление топлива в каждый момент времени равно mv 2 /2, т.е. в точности равно кинетической энергии автомобиля.
Так как же нужно ехать, чтобы добраться к пункту B к точно назначенному времени и израсходовать топлива как можно меньше? Ясно, что ехать нужно по прямой. При увеличении проезжаемого расстояния топлива израсходуется точно не меньше. А дальше можно избрать разные тактики. Например, можно быстро приехать в пункт B заранее и просто посидеть, подождать, когда наступит время t B . Скорость езды, а значит и потребление топлива в каждый момент времени при этом получится большой, но ведь и время езды сократится. Возможно, общий расход топлива при этом будет не так уж и велик. Или можно ехать равномерно, с одной и той же скоростью, такой, чтобы, не торопясь, точно приехать в момент времени tBt_B. Или часть пути проехать быстро, а часть медленнее. Как же лучше ехать?
Оказывается, что самый оптимальный, самый экономный способ езды – это ехать с постоянной скоростью, такой, чтобы оказаться в пункте B в точно назначенное время t B . При любом другом варианте топлива израсходуется больше. Можете сами проверить на нескольких примерах. Причина в том, что потребление топлива возрастает пропорционально квадрату скорости. Поэтому при увеличении скорости потребление топлива возрастает быстрее, чем сокращается время езды, и общий расход топлива также возрастает.
Итак, мы выяснили, что если автомобиль в каждый момент времени потребляет топливо пропорционально своей кинетической энергии, то самый экономный способ добраться из точки A в точку B к точно назначенному времени – это ехать равномерно и прямолинейно, точно так, как двигается тело в отсутствие действующих на него сил. Любой другой способ движения приведет к большему общему расходу топлива.
В поле тяжести
Теперь давайте немного усовершенствуем наш автомобиль. Давайте приделаем к нему реактивные двигатели, чтобы он мог свободно летать в любом направлении. В целом конструкция осталась той же, поэтому расход топлива опять остался строго пропорционален кинетической энергии автомобиля. Если теперь дано задание вылететь из точки A в момент времени t A и прилететь в точку B к моменту времени t B , то наиболее экономичный способ, как и прежде, конечно, будет лететь равномерно и прямолинейно, чтобы оказаться в точке В в точно назначенное время t B . Это опять соответствует свободному движению тела в трехмерном пространстве.
Однако, в последнюю модель автомобиля установили необычный аппарат. Данный аппарат умеет вырабатывать топливо буквально из ничего. Но конструкция такова, что чем выше находится автомобиль, тем больше топлива в каждый момент времени вырабатывает аппарат. Выработка топлива прямо пропорциональна высоте h, на которой в данный момент находится автомобиль. Также, чем тяжелее автомобиль, тем более мощный аппарат на нем установлен и тем больше топлива он вырабатывает, и выработка прямо пропорциональна массе автомобиля m. Аппарат получился таким, что выработка топлива точно равна mgh (где g – ускорение свободного падения), т.е. потенциальной энергии автомобиля.
Потребление топлива в каждый момент времени получается равным кинетической энергии минус потенциальной энергии автомобиля (минус потенциальной энергии, потому что установленный аппарат вырабатывает топливо, а не тратит). Теперь наша задача наиболее экономного движения автомобиля между пунктами A и B становится сложнее. Прямолинейное равномерное движение оказывается в данном случае не самым эффективным. Оказывается, более оптимально - немного набрать высоты, какое-то время там задержаться, выработав побольше топлива, а затем уже спуститься в точку B. При правильной траектории полета общая выработка топлива за счет набора высоты перекроет дополнительные расходы топлива на увеличение длины пути и увеличения скорости. Если аккуратно посчитать, то самым экономным способом для автомобиля будет лететь по параболе, точно по такой траектории и с точно такой скоростью, с какой летел бы камень в поле тяжести Земли.
Здесь стоит сделать разъяснение. Конечно, можно из точки А кинуть камень многими разными способами так, чтобы он попал в точку B. Но кидать его нужно так, чтобы он, вылетев из точки А в момент времени t A , попал в точку B точно в момент времени t B . Именно это движение будет самым экономным для нашего автомобиля.
Функция Лагранжа и принцип наименьшего действия
Теперь мы можем перенести эту аналогию на реальные физические тела. Аналог интенсивности потребления топлива для тел называют функцией Лагранжа или Лагранжианом (в честь Лагранжа) и обозначают буквой L. Лагранжиан показывает насколько много «топлива» потребляет тело в данный момент времени. Для тела, движущегося в потенциальном поле, Лагранжиан равен его кинетической энергии минус потенциальной энергии.
Аналог общего количества израсходованного топлива за все время движения, т.е. значение Лагранжиана, накопленное за все время движения, называется «действием».
Принцип наименьшего действия состоит в том, что тело двигается таким образом, чтобы действие (которое зависит от траектории движения) было минимальным. При этом не нужно забывать, что заданы начальное и конечное условия, т.е. где тело находится в момент времени t A и в момент времени t B .
При этом тело не обязательно должно двигаться в однородном поле тяготения, которое мы рассматривали для нашего автомобиля. Можно рассматривать совершенно другие ситуации. Тело может колебаться на резинке, качаться на маятнике или летать вокруг Солнца, во всех этих случаях оно движется так, чтобы минимизировать «общий расход топлива» т.е. действие.
Если система состоит из нескольких тел, то Лагранжиан такой системы будет равен суммарной кинетической энергии всех тел минус суммарной потенциальной энергии всех тел. И опять, все тела будут согласованно двигаться так, чтобы действие всей системы при таком движении было минимальным.
Не все так просто
На самом деле я немного обманул, сказав, что тела всегда двигаются так, чтобы минимизировать действие. Хотя в очень многих случаях это действительно так, можно придумать ситуации, в которых действие явно не минимально.
Например, возьмем шарик и поместим его в пустое пространство. На некотором отдалении от него поставим упругую стенку. Допустим, мы хотим, чтобы через некоторое время шарик оказался в том же самом месте. При таких заданных условиях шарик может двигаться двумя разными способами. Во-первых, он может просто оставаться на месте. Во-вторых, можно его толкнуть по направлению к стенке. Шарик долетит до стенки, отскочит от нее и вернется обратно. Понятно, что можно толкнуть его с такой скоростью, чтобы он вернулся в точно нужное время.
Оба варианта движения шарика возможны, но действие во втором случае получится больше, потому что все это время шарик будет двигаться с ненулевой кинетической энергией.
Как же спасти принцип наименьшего действия, чтобы он был справедлив и в таких ситуациях? Об этом мы поговорим в следующий раз.
Когда я впервые узнал об этом принципе, у меня возникло ощущение какой-то мистики. Такое впечатление, что природа таинственным образом перебирает все возможные пути движения системы и выбирает из них самый лучший.
Сегодня я хочу немного рассказать об одном из самых замечательных физических принципов – принципе наименьшего действия.
Предыстория
Со времен Галилея было известно, что тела, на которые не действуют никакие силы, двигаются по прямым линиям, то есть по кратчайшему пути. По прямым линиям распространяются и световые лучи.При отражении свет также двигается таким образом, чтобы добраться из одной точки в другую кратчайшим путем. На картинке кратчайшим будет зеленый путь, при котором угол падения равен углу отражения. Любой другой путь, например, красный, окажется длиннее.
Это несложно доказать, просто отразив пути лучей на противоположную сторону от зеркала. На картинке они показаны пунктиром.
Видно, что зеленый путь ACB превращается в прямую ACB’. А красный путь превращается в изломанную линию ADB’, которая, конечно длиннее зеленой.
В 1662 Пьер Ферма предположил, что скорость света в плотном веществе, например, в стекле, меньше, чем в воздухе. До этого общепринятой была версия Декарта, согласно которой скорость света в веществе должна быть больше, чем в воздухе, чтобы получался правильный закон преломления. Для Ферма предположение, что свет может двигаться в более плотной среде быстрее, чем в разреженной казалось противоестественным. Поэтому он предположил, что все в точности наоборот и доказал удивительную вещь – при таком предположении свет преломляется так, чтобы достичь место назначения за минимальное время.
На рисунке опять, зеленым цветом показан путь, по которому в действительности двигается световой луч. Путь, отмеченный красным цветом, является кратчайшим, но не самым быстрым, потому что свету приходится больший путь проходить в стекле, а в нем его скорость меньше. Самым быстрым является именно реальный путь прохождения светового луча.
Все эти факты наводили на мысль, что природа действует каким-то рациональным образом, свет и тела двигаются наиболее оптимально, затрачивая как можно меньше усилий. Но что это за усилия, и как их посчитать оставалось загадкой.
В 1744 Мопертюи вводит понятие «действия» и формулирует принцип, согласно которому истинная траектория частицы отличается от любой другой тем, что действие для неё является минимальным. Однако сам Мопертюи, так и не смог дать четкого определения чему равно это действие. Строгая математическая формулировка принципа наименьшего действия была разработана уже другими математиками – Эйлером, Лагранжем, и окончательно была дана Уильямом Гамильтоном:
На математическом языке принцип наименьшего действия формулируется достаточно кратко, однако не для всех читателей может быть понятен смысл используемых обозначений. Я хочу попытаться объяснить этот принцип более наглядно и простыми словами.
Свободное тело
Итак, представьте, что вы сидите в машине в точке и в момент времени вам дана простая задача: к моменту времени вам нужно доехать на машине до точки .
Топливо для машины дорого стоит и, конечно, вам хочется потратить его как можно меньше. Машина у вас сделана по новейшим супер-технологиям и может разгоняться или тормозить как угодно быстро. Однако, устроена она так, что чем быстрее она едет, тем больше потребляет топлива. Причем потребление топлива пропорционально квадрату скорости. Если вы едете в два раза быстрее, то за тот же промежуток времени потребляете в 4 раза больше топлива. Кроме скорости, на потребление топлива, конечно же влияет и масса автомобиля. Чем тяжелее наш автомобиль, тем больше топлива он потребляет. У нашего автомобиля потребление топлива в каждый момент времени равно , т.е. в точности равно кинетической энергии автомобиля.
Так как же нужно ехать, чтобы добраться к пункту к точно назначенному времени и израсходовать топлива как можно меньше? Ясно, что ехать нужно по прямой. При увеличении проезжаемого расстояния топлива израсходуется точно не меньше. А дальше можно избрать разные тактики. Например, можно быстро приехать в пункт заранее и просто посидеть, подождать, когда наступит время . Скорость езды, а значит и потребление топлива в каждый момент времени при этом получится большой, но ведь и время езды сократится. Возможно, общий расход топлива при этом будет не так уж и велик. Или можно ехать равномерно, с одной и той же скоростью, такой, чтобы, не торопясь, точно приехать в момент времени . Или часть пути проехать быстро, а часть медленнее. Как же лучше ехать?
Оказывается, что самый оптимальный, самый экономный способ езды – это ехать с постоянной скоростью, такой, чтобы оказаться в пункте в точно назначенное время . При любом другом варианте топлива израсходуется больше. Можете сами проверить на нескольких примерах. Причина в том, что потребление топлива возрастает пропорционально квадрату скорости. Поэтому при увеличении скорости потребление топлива возрастает быстрее, чем сокращается время езды, и общий расход топлива также возрастает.
Итак, мы выяснили, что если автомобиль в каждый момент времени потребляет топливо пропорционально своей кинетической энергии, то самый экономный способ добраться из точки в точку к точно назначенному времени – это ехать равномерно и прямолинейно, точно так, как двигается тело в отсутствие действующих на него сил. Любой другой способ движения приведет к большему общему расходу топлива.
В поле тяжести
Теперь давайте немного усовершенствуем наш автомобиль. Давайте приделаем к нему реактивные двигатели, чтобы он мог свободно летать в любом направлении. В целом конструкция осталась той же, поэтому расход топлива опять остался строго пропорционален кинетической энергии автомобиля. Если теперь дано задание вылететь из точки в момент времени и прилететь в точку к моменту времени , то наиболее экономичный способ, как и прежде, конечно, будет лететь равномерно и прямолинейно, чтобы оказаться в точке в точно назначенное время . Это опять соответствует свободному движению тела в трехмерном пространстве.
Однако, в последнюю модель автомобиля установили необычный аппарат. Данный аппарат умеет вырабатывать топливо буквально из ничего. Но конструкция такова, что чем выше находится автомобиль, тем больше топлива в каждый момент времени вырабатывает аппарат. Выработка топлива прямо пропорциональна высоте , на которой в данный момент находится автомобиль. Также, чем тяжелее автомобиль, тем более мощный аппарат на нем установлен и тем больше топлива он вырабатывает, и выработка прямо пропорциональна массе автомобиля . Аппарат получился таким, что выработка топлива точно равна (где – ускорение свободного падения), т.е. потенциальной энергии автомобиля.
Потребление топлива в каждый момент времени получается равным кинетической энергии минус потенциальной энергии автомобиля (минус потенциальной энергии, потому что установленный аппарат вырабатывает топливо, а не тратит). Теперь наша задача наиболее экономного движения автомобиля между пунктами и становится сложнее. Прямолинейное равномерное движение оказывается в данном случае не самым эффективным. Оказывается, более оптимально - немного набрать высоты, какое-то время там задержаться, выработав побольше топлива, а затем уже спуститься в точку . При правильной траектории полета общая выработка топлива за счет набора высоты перекроет дополнительные расходы топлива на увеличение длины пути и увеличения скорости. Если аккуратно посчитать, то самым экономным способом для автомобиля будет лететь по параболе, точно по такой траектории и с точно такой скоростью, с какой летел бы камень в поле тяжести Земли.
Здесь стоит сделать разъяснение. Конечно, можно из точки кинуть камень многими разными способами так, чтобы он попал в точку . Но кидать его нужно так, чтобы он, вылетев из точки в момент времени , попал в точку точно в момент времени . Именно это движение будет самым экономным для нашего автомобиля.
Функция Лагранжа и принцип наименьшего действия
Теперь мы можем перенести эту аналогию на реальные физические тела. Аналог интенсивности потребления топлива для тел называют функцией Лагранжа или Лагранжианом (в честь Лагранжа) и обозначают буквой . Лагранжиан показывает насколько много «топлива» потребляет тело в данный момент времени. Для тела, движущегося в потенциальном поле, Лагранжиан равен его кинетической энергии минус потенциальной энергии.Аналог общего количества израсходованного топлива за все время движения, т.е. значение Лагранжиана, накопленное за все время движения, называется «действием».
Принцип наименьшего действия состоит в том, что тело двигается таким образом, чтобы действие (которое зависит от траектории движения) было минимальным. При этом не нужно забывать, что заданы начальное и конечное условия, т.е. где тело находится в момент времени и в момент времени .
При этом тело не обязательно должно двигаться в однородном поле тяготения, которое мы рассматривали для нашего автомобиля. Можно рассматривать совершенно другие ситуации. Тело может колебаться на резинке, качаться на маятнике или летать вокруг Солнца, во всех этих случаях оно движется так, чтобы минимизировать «общий расход топлива» т.е. действие.
Если система состоит из нескольких тел, то Лагранжиан такой системы будет равен суммарной кинетической энергии всех тел минус суммарной потенциальной энергии всех тел. И опять, все тела будут согласованно двигаться так, чтобы действие всей системы при таком движении было минимальным.
Не все так просто
На самом деле я немного обманул, сказав, что тела всегда двигаются так, чтобы минимизировать действие. Хотя в очень многих случаях это действительно так, можно придумать ситуации, в которых действие явно не минимально.Например, возьмем шарик и поместим его в пустое пространство. На некотором отдалении от него поставим упругую стенку. Допустим, мы хотим, чтобы через некоторое время шарик оказался в том же самом месте. При таких заданных условиях шарик может двигаться двумя разными способами. Во-первых, он может просто оставаться на месте. Во-вторых, можно его толкнуть по направлению к стенке. Шарик долетит до стенки, отскочит от нее и вернется обратно. Понятно, что можно толкнуть его с такой скоростью, чтобы он вернулся в точно нужное время.
Оба варианта движения шарика возможны, но действие во втором случае получится больше, потому что все это время шарик будет двигаться с ненулевой кинетической энергией.
Как же спасти принцип наименьшего действия, чтобы он был справедлив и в таких ситуациях? Об этом мы поговорим в .
