Урок исследование

Перпендикулярность прямой и плоскости.

Цель урока : Показать множественность подходов к доказательству теоремы; совершенствовать исследовательские умения и навыки учащихся.

Подготовка к уроку : ученики-консультанты дома готовят по дополнительной литературе семь доказательств признака перпендикулярности прямой и плоскости.

Ход урока : I

Вступительное слово учителя:

Сегодняшний урок – урок исследования. Всем вместе предстоит в процессе решения задач и ответов на проблемные вопросы, подойти к формулировке теоремы перпендикулярности прямой и плоскости и познакомиться с семью вариантами доказательств этой теоремы с тем, чтобы выбрать наиболее оптимальный из них, обстоятельно мотивировать своё мнение.

1.Подготовка к формулировке теоремы:

Повторение определения перпендикуляра к плоскости, анализ практического применения данного понятия посредством решения задач.

Задача 1.

Даны: Плоскость, точки А и В в этой плоскости; АМ – прямая перпендикулярная этой плоскости. Определить вид треугольника АМВ.

Задачи по вариантам.

Дан плоский четырёхугольник АВСD. АМ – перпендикуляр к плоскости ABCD. Какие из треугольников ABC, ACD, ABD, BCD, ADM, ABM, CAM – прямоугольные.

ABCD – квадрат. Прямая ВК перпендикулярна плоскости квадрата. Какие из треугольников ABD, BCD, ABK, BDK, BCK – прямоугольные.

Консультанты собирают листочки и проверяют решения, а учитель подводит учащихся к выводу:

1.Верно ли утверждение, что прямая, перпендикулярная к плоскости,

перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости?

2.Когда же прямая перпендикулярна плоскости?

3.Сколько прямых лежат на плоскости? Можно ли их посчитать?

Ученик – консультант на модели из спиц показывает различные варианты: в плоскости две прямые в плоскости, прямая перпендикулярна одной из них. Вывод: прямая не перпендикулярна плоскости. Следующий вариант модели: прямая перпендикулярна двум прямым, лежащим в плоскости, и, оказывается, перпендикулярна плоскости. Далее для закрепления, можно взять модель из трёх прямых и т. д.

По завершению работы с моделями перед учащимися ставится очередной проблемный вопрос: сколько прямых достаточно в плоскости, чтобы сказать, что прямая перпендикулярна плоскости?

Исследовав ситуацию перпендикулярности прямой и плоскости, мы в плотную подошли к теореме, которая даст возможность выяснить на чертежах, на моделях и в практика перпендикулярность к прямой и плоскости. Попробуем сформулировать теорему.

Ребята предлагают свои варианты формулировки теоремы. Учитель выделяет наиболее рациональнее и предлагает прослушать различные варианты формулировки и доказательства рассматриваемой теоремы, которые ученик разыскали дома в рекомендованной литературе.

2. Доказательство теоремы:

Теорема: Если прямая, пересекающаяся с плоскостью, перпендикулярна каким - нибудь двум прямым, проведённым на этой плоскости через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна и ко всякой третьей прямой проведённой в этой плоскости через ту же точку пересечения.

Доказательство: Отложим на прямой AA 1 произвольной длины, но равные отрезки OA и OA 1 и проведём на плоскости какую-нибудь прямую, которая пересекла бы три прямые исходящие из точки О в точках C, D, и B .Эти точки соединим с точками A и A 1 ; мы получим несколько треугольников.∆ACB= ∆A 1 CB, так как у них BC - общая, AC=A 1 C - как наклонные к прямой AA 1 , одинаково удаленые от основания О перпендикуляра ОС. По той же причине AB=A 1 B .Из равенства этих треугольников следует, что ∟ABC=∟A 1 BC.

∆ABD=∆A 1 BD по первому признаку равенства треугольников: BD - общая, AB=A 1 B по доказанному, ∟ABC= ∟A 1 BC .Из равенства этих треугольников следует, что AD=A 1 D.

∆АОD=∆A1OD по третьему признаку равенства треугольников. Из равенства этих треугольников следует, что AOD= A1OD; и так как эти углы смежные, то AA1 перпендикулярна OD.

Теорема: Прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым, принадлежащим плоскости, перпендикулярна плоскости.

Первый случай, когда все прямые a, b, c проходят через точку О – точку пересечения прямой с плоскостью α. Отметим на прямой р вектор OP, на прямой с вектор OC и докажем, что произведение векторов OP и OC равно 0.

Разложим вектор OC по векторам OA и OB, расположенные соответственно на прямых a и b; тогда (речь идет о векторах) OC=OA+OB. Значит:

OP∙OC=OP (OA+OB)=OP∙OA+OP∙OB

Но OP ┴ OA, OP ┴ OB; поэтому OP∙OA=0, OP∙OB=0. Отсюда OP∙OC=0; значит OP ┴ OC и р ┴ с. Но с – любая прямая плоскости; значит, р ┴ α

Второй случай , когда прямые a, b, c не проходят через точку О. Проведем через точку О прямые a1||a; b1||b; c1||c. По условию p ┴ а, p ┴ b, значит p ┴ а1, p ┴ b1, и, по доказанному выше, p ┴ с1, а поэтому p ┴ с. Прямая с – любая прямая плоскости α; значит прямая р перпендикулярна ко всем прямым, лежащим в плоскости α, а поэтому p ┴ α.

Теорема: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.

Доказательство можно взять из учебника А.В. Погорелов «Геометрия 7-11»

А 1

α A X B

А 2

IV вариант Э.Е. Лежандр

Теорема: Прямая перпендикулярная двум прямым, лежащим на плоскости, перпендикулярна самой плоскости. O

Дано: SO  OA, SO  OB, OA C  .,OB C 

Доказать: SO  

Доказательство:

1. Медиану треугольника можно выразить через стороны

4AM 2 =2(AB 2 +AC 2 )-BC 2

2 Через точку С проведём прямую так, чтобы отрезок АВ, заключённый между сторонами угла АОВ, разделился бы в этой точке пополам, то есть АС=ВС. SC – медиана треугольника АSВ: 4SС 2 =2(SА 2 +SВ 2 )-АВ 2 . ОС – медиана треугольника АОВ: 4ОВ 2 =2(АО 2 +ОВ 2 )-АВ 2 . Почленно вычитая эти равенства, получим: 4(SС 2 -ОС 2 )=2((SА 2 -АО 2 )+(SВ 2 -ОВ 2 )). Выражение в скобках в правой части равенства можно заменить по т. Пифагора. Для треугольника АОS: SО 2 =SА 2 -ОА 2 . Для треугольника ВОS: SО 2 =SВ 2 -ОВ 2 .

Отсюда: 4(SС 2 -ОС 2 )=2(SО 2 +SО 2 ), 4(SС 2 -ОС 2 )=4SО 2 , SС 2 -ОС 2 =SО 2 , откуда SС 2 =SО 2 +ОС 2 . Согласно обратной теоремы Пифагора, SО  ОС. ОС – произвольная прямая, принадлежащая плоскости  , значит SО  .

Теорема: Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых лежащих в плоскости, то эта прямая перпендикулярна плоскости .

Докажем, что прямая l перпендикулярна любой третьей прямой в плоскости 

Построение: Прямые m, n, g перенесем параллельно в точку О; ОА=ОС=ОD=ОВ, отсюда ABCD – прямоугольник, соединим A, B, C, D с некоторой точкой М.
Треугольник АМD равен ВМС по трем сторонам, отсюда угол1 равен углу2. Треугольник МDL равен треугольнику МКВ по двум сторонам и углу между ними. МD=МВ, LD=BK – центрально симметричны; следовательно MK=LM.
Треугольник MLK – равнобедренный, ОМ – медиана, значит, и высота. Получили ОМ  g, отсюда l  g, следовательно l  

Теорема: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым на плоскости, то она перпендикулярно самой плоскости .

Р 1

Доказательство основано на симметрии относительно оси плоскости.

Построение: l  l 1, m. O  l 1, m  n = O, OP=OP’ .
Точки Р и Р’ – симметричны относительно оси m, также Р и Р’ – симметричны относительно оси n. Тогда  ((m  n)  ) – плоскость симметрии точек Р и Р’, следовательно, l 

3.Обсуждение различных вариантов доказательства теоремы. Учащиеся высказываю свои мнения о том, какое из доказательств, на их взгляд, является оптимальным и почему. Учитель разрешает выбрать для себя любой вариант и увязывает теорему с примерами из жизни: В технике часто встречается направление, перпендикулярное плоскости. Колонны устанавливают так, что их ось перпендикулярна плоскости фундамента; гвозди забивают в доску так, что они перпендикулярны плоскости доски; в цилиндре паровой машины шток перпендикулярен плоскости поршня и т.д. Особенно важно вертикальное направление, то есть направление силы тяжести, оно перпендикулярно горизонтальной плоскости.

Задача: ABCD – ромб, прямая ОК перпендикулярна диагоналям ромба.

Доказать: ОК перпендикулярна плоскости ромба.

Итог урока.

Задание на дом: п17, №120, №129

В этой статье мы поговорим о перпендикулярности прямой и плоскости. Сначала дано определение прямой, перпендикулярной к плоскости, приведена графическая иллюстрация и пример, показано обозначение перпендикулярных прямой и плоскости. После этого сформулирован признак перпендикулярности прямой и плоскости. Далее получены условия, позволяющие доказывать перпендикулярность прямой и плоскости, когда прямая и плоскость заданы некоторыми уравнениями в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве. В заключении показаны подробные решения характерных примеров и задач.

Навигация по странице.

Перпендикулярные прямая и плоскость – основные сведения.

Рекомендуем для начала повторить определение перпендикулярных прямых , так как определение прямой, перпендикулярной к плоскости, дается через перпендикулярность прямых.

Определение.

Говорят, что прямая перпендикулярна к плоскости , если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Также можно сказать, что плоскость перпендикулярна к прямой, или прямая и плоскость перпендикулярны.

Для обозначения перпендикулярности используют значок вида «». То есть, если прямая c перпендикулярна к плоскости , то можно кратко записать .

В качестве примера прямой, перпендикулярной к плоскости, можно привести прямую, по которой пересекаются две смежных стены комнаты. Эта прямая перпендикулярна к плоскости и к плоскости потолка. Канат в спортивном зале можно также рассматривать как отрезок прямой, перпендикулярной к плоскости пола.

В заключении этого пункта статьи отметим, что если прямая перпендикулярна к плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным девяноста градусам.

Перпендикулярность прямой и плоскости - признак и условия перпендикулярности.

На практике часто возникает вопрос: «Перпендикулярны ли заданные прямая и плоскость»? Для ответа на него существует достаточное условие перпендикулярности прямой и плоскости , то есть, такое условие, выполнение которого гарантирует перпендикулярность прямой и плоскости. Это достаточное условие называют признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Сформулируем его в виде теоремы.

Теорема.

Для перпендикулярности заданных прямой и плоскости достаточно, чтобы прямая была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости Вы можете посмотреть в учебнике геометрии за 10 -11 классы.

При решении задач на установление перпендикулярности прямой и плоскости также часто применяется следующая теорема.

Теорема.

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна к плоскости.

В школе рассматривается много задач, для решения которых применяется признак перпендикулярности прямой и плоскости, а также последняя теорема. Здесь мы не будем на них останавливаться. В этом пункте статьи основное внимание сосредоточим на применении следующего необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.

Это условие можно переписать в следующем виде.

Пусть - направляющий вектор прямой a , а - нормальный вектор плоскости . Для перпендикулярности прямой a и плоскости необходимо и достаточно, чтобы выполнялось и : , где t – некоторое действительное число.

Доказательство этого необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости основано на определениях направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.

Очевидно, это условие удобно использовать для доказательства перпендикулярности прямой и плоскости, когда легко находятся координаты направляющего вектора прямой и координаты нормального вектора плоскости в зафиксированной в трехмерном пространстве. Это справедливо для случаев, когда заданы координаты точек, через которые проходят плоскость и прямая, а также для случаев, когда прямую определяют некоторые уравнения прямой в пространстве , а плоскость задана уравнением плоскости некоторого вида.

Рассмотрим решения нескольких примеров.

Пример.

Докажите перпендикулярность прямой и плоскости .

Решение.

Нам известно, что числа, стоящие в знаменателях канонических уравнений прямой в пространстве , являются соответствующими координатами направляющего вектора этой прямой. Таким образом, - направляющий вектор прямой .

Коэффициенты при переменных x , y и z в общем уравнении плоскости являются координатами нормального вектора этой плоскости, то есть, - нормальный вектор плоскости .

Проверим выполнение необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.

Так как , то векторы и связаны соотношением , то есть, они коллинеарны. Следовательно, прямая перпендикулярна плоскости .

Пример.

Перпендикулярны ли прямая и плоскость .

Решение.

Найдем направляющий вектор заданной прямой и нормальный вектор плоскости, чтобы проверить выполнений необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.

Направляющим вектором прямой является

Перпендикулярность в пространстве могут иметь:

1. Две прямые

3. Две плоскости

Давай по очереди рассмотрим эти три случая: все относящиеся к ним определения и формулировки теорем. А потом обсудим очень важную теорему о трёх перпендикулярах.

Перпендикулярность двух прямых.

Определение:

Ты можешь сказать: тоже мне, открыли Америку! Но вспомни, что в пространстве всё не совсем так, как на плоскости.

На плоскости перпендикулярными могут оказаться только такие прямые (пересекающиеся):

А вот перпендикулярность в пространстве двух прямых может быть даже в случае если они не пересекаются. Смотри:

прямая перпендикулярна прямой, хотя и не пересекается с нею. Как так? Вспоминаем определение угла между прямыми: чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми и, нужно через произвольную точку на прямой a провести прямую. И тогда угол между и (по определению!) будет равен углу между и.

Вспомнили? Ну вот, а в нашем случае - если окажутся перпендикулярны прямые и, то нужно считать перпендикулярными прямые и.

Для полной ясности давай рассмотрим пример. Пусть есть куб. И тебя просят найти угол между прямыми и. Эти прямые не пересекаются - они скрещиваются. Чтобы найти угол между и, проведём.

Из-за того, что - параллелограмм (и даже прямоугольник!), получается, что. А из-за того, что - квадрат, выходит, что. Ну, и значит.

Перпендикулярность прямой и плоскости.

Определение:

Вот картинка:

прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем-всем прямым в этой плоскости: и, и, и, и даже! И ещё миллиарду других прямых!

Да, но как же тогда вообще можно проверить перпендикулярность в прямой и плоскости? Так и жизни не хватит! Но на наше счастье математики избавили нас от кошмара бесконечности, придумав признак перпендикулярности прямой и плоскости .

Формулируем:

Оцени, как здорово:

если найдутся всего лишь две прямые (и) в плоскости, которым перпендикулярна прямая, то эта прямая сразу окажется перпендикулярна плоскости, то есть всем прямым в этой плоскости (в том числе и какой-то стоящей сбоку прямой). Это очень важная теорема, поэтому нарисуем её смысл ещё и в виде схемы.

И опять рассмотрим пример .

Пусть нам дан правильный тетраэдр.

Задача: доказать, что. Ты скажешь: это же две прямые! При чём же здесь перпендикулярность прямой и плоскости?!

А вот смотри:

давай отметим середину ребра и проведём и. Это медианы в и. Треугольники - правильные и.

Вот оно, чудо: получается, что, так как и. И далее, всем прямым в плоскости, а значит, и. Доказали. И самым главным моментом оказалось именно применение признака перпендикулярности прямой и плоскости.

Когда плоскости перпендикулярны

Определение:

То есть (подробнее смотри в теме «двугранный угол») две плоскости (и) перпендикулярны, если окажется, что угол между двумя перпендикулярами (и) к линии пересечения этих плоскостей равен. И есть теорема, которая связывает понятие перпендикулярных плоскостей с понятием перпендикулярность в пространстве прямой и плоскости.

Теорема эта называется

Критерий перпендикулярности плоскостей.

Давай сформулируем:

Как всегда, расшифровка слов «тогда и только тогда» выглядит так:

Если, то проходит через перпендикуляр к.

Если проходит через перпендикуляр к, то.

(естественно, здесь и - плоскости).

Эта теорема - одна из самых важных в стереометрии, но, к сожалению, и одна из самых непростых в применении.

Так что нужно быть очень внимательным!

Итак, формулировка:

И снова расшифровка слов «тогда и только тогда». Теорема утверждает сразу две вещи (смотри на картинку):

давай попробуем применить эту теорему для решения задачи.

Задача : дана правильная шестиугольная пирамида. Найти угол между прямыми и.

Решение:

Из-за того, что в правильной пирамиде вершина при проекции попадает в центр основания, оказывается, что прямая - проекция прямой.

Но мы знаем, что в правильном шестиугольнике. Применяем теорему о трёх перпендикулярах:

И пишем ответ: .

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Перпендикулярность двух прямых.

Две прямые в пространстве перпендикулярны, если угол между ними.

Перпендикулярность прямой и плоскости.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем прямым в этой плоскости.

Перпендикулярность плоскостей.

Плоскости перпендикулярны, если двугранный угол между ними равен.

Критерий перпендикулярности плоскостей.

Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости.

Теорема о трех перпендикулярах:

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время .

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье -
Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Презентация на тему: Признак перпендикулярности прямой и плоскости

1 из 24

Презентация на тему: Признак перпендикулярности прямой и плоскости

№ слайда 1

Описание слайда:

№ слайда 2

Описание слайда:

Цели урока: Материалы этого урока знакомят с признаком перпендикулярности прямой и плоскости и свойствами перпендикулярных прямой и плоскости. Окружающий нас мир дает много примеров перпендикулярности прямой и плоскости. Правильно установленный вертикальный столб перпендикулярен к плоскости земли. Линии пересечения стен комнаты перпендикулярны к плоскости пола. При строительстве зданий при установке столбов для их устойчивости очень важно обеспечить перпендикулярность к поверхности земли. Для этого существуют специальные способы проверки перпендикулярности, основанные на признаке перпендикулярности прямой и плоскости и свойствах перпендикулярных прямой и плоскости, которые мы и будем изучать. Изучив материалы предыдущего урока, вы познакомились с определением и свойствами перпендикулярных прямых, с определением прямой перпендикулярной к плоскости. Повторите еще раз эти материалы. Это поможет вам правильно ответить на вопросы теста, проверяющего ваши знания по теме «Перпендикулярные прямые».

№ слайда 3

Описание слайда:

Перпендикулярные прямые Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 900. Для обозначения перпендикулярности используется знак ┴. На рисунке прямая m перпендикулярна прямой n или m┴n. Лемма о перпендикулярных прямых Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. Символически эту лемму можно записать так

№ слайда 4

Описание слайда:

Прямая, перпендикулярная к плоскости Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой на этой плоскости. Для обозначения перпендикулярности используется знак ┴. На рисунке изображена прямая а, перпендикулярная плоскости a или а┴α.

№ слайда 5

Описание слайда:

Теорема о двух параллельных прямых и плоскости Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. Символически эту теорему можно записать так Теорема о двух прямых, перпендикулярных к плоскости Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны друг другу. Символически эту теорему можно записать так

№ слайда 6

Описание слайда:

Признак перпендикулярности прямой и плоскости Наверное, каждому приходилось вкапывать штанги футбольных ворот. До перекладины порой и не доходило. Как важно при этом было так установить штангу так, чтобы она была перпендикулярна поверхности земли. Если использовать определение перпендикулярности прямой к плоскости, то тогда следует проверять перпендикулярность штанги к каждой прямой на футбольном поле. А нельзя ли ограничиться меньшим числом проверок? Оказывается можно. Но одной проверки явно недостаточно. Если данная прямая перпендикулярна только к одной прямой на плоскости, то она не перпендикулярна к самой плоскости (рис.3). Она может и лежать в этой плоскости. Если же прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна самой плоскости (рис.4). Это утверждение называется признаком перпендикулярности прямой и плоскости и формулируется в виде теоремы. Таким образом, чтобы установить штангу ворот перпендикулярно плоскости поля достаточно проверить ее перпендикулярность, посмотрев на нее с двух разных, но не противоположных сторон.

№ слайда 7

Описание слайда:

Теорема Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. Пусть b┴q; b┴p; p a; q a; p ∩ q=O. Докажем, что b┴a. Для этого нужно доказать, что прямая b перпендикулярна к любой (произвольной) прямой m на плоскости a. Рассмотрим сначала случай, когда прямая b проходит через точку пересечения О. Проведем через точку О прямую l, параллельную прямой m. Отметим на прямой b точки А и В, равноудаленные от точки O, и проведем в плоскости a прямую, пересекающую прямые p, l и q соответственно в точках P, L и Q. Так как прямые p и q – серединные перпендикуляры, то АР=ВР и AQ=BQ. Следовательно, ∆APQ=∆BPQ (по трем сторонам). Тогда APL= BPL и ∆ APL= ∆ BPL (по двум сторонам и углу). Тогда AL=BL. Следовательно, ∆ALB – равнобедренный, отрезок LO является медианой и высотой в этом треугольнике, AОL=900 и b┴l. Поскольку l || m, то b┴m (по лемме о перпендикулярных прямых), то есть b┴a.

№ слайда 8

Описание слайда:

Рассмотрим теперь случай, когда прямая а не проходит через точку О, но а┴q; а┴p. Проведем через точку О прямую, параллельную прямой а. Эта прямая перпендикулярна прямым p и q (по лемме о перпендикулярных прямых) и, следовательно, совпадает с прямой b. Поскольку b┴a и b||a, то а┴a (по теореме о двух параллельных прямых и плоскости). Теорема доказана. Символически эту теорему можно записать так Докажем две теоремы, обосновывающие существование плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой и существование прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной к данной плоскости. При доказательстве этих теорем будет использован признак перпендикулярности прямой и плоскости.

№ слайда 9

Описание слайда:

Плоскость, перпендикулярная прямой Теорема Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная данной прямой и притом только одна. Обозначим данную прямую буквой а, а произвольную точку пространства – буквой М. 1. Докажем существование плоскости, перпендикулярной прямой а и проходящей через точку М. Проведем через прямую а две плоскости и так, чтобы плоскость проходила через точку М.. В плоскости проведем через точку М прямую р, перпендикулярную прямой а и пересекающую ее в точке А. В плоскости проведем прямую q, перпендикулярную прямой а и проходящую через точку А. Рассмотрим плоскость, проходящую через прямые p и q. Эта плоскость перпендикулярна прямой а (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости) и проходит через произвольную точку М. Следовательно, это искомая плоскость. Существование доказано.

№ слайда 10

Описание слайда:

2. Докажем единственность такой плоскости. Проведем доказательство от противного. Пусть существуют две плоскости и, проходящие через точку М и перпендикулярные прямой а. Но тогда || . Но плоскости и не могут быть параллельными друг другу, так как имеют общую точку М. Следовательно наше предположение неверно и существует только одна плоскость, проходящая через произвольную точку пространства перпендикулярно данной прямой. Единственность доказана.

№ слайда 11

Описание слайда:

Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная данной плоскости и притом только одна. Обозначим данную плоскость буквой a, а произвольную точку пространства – буквой М. 1. Докажем существование прямой, перпендикулярной плоскости и проходящей через точку М. Проведем в плоскости прямую b. Через точку М проведем плоскость, перпендикулярную прямой b (это мы можем сделать на основании предыдущей теоремы о плоскости перпендикулярной прямой). Пусть с –общая прямая плоскостей и. Проведем в плоскости через точку М прямую а, перпендикулярную прямой с. Тогда прямая а перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости. Следовательно, прямая а перпендикулярна плоскости a (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). Следовательно, а - искомая прямая. Существование доказано.

№ слайда 12

Описание слайда:

2. Докажем единственность такой прямой. Проведем доказательство от противного. Пусть существует две прямые а и а1, проходящие через точку М и перпендикулярные плоскости a. Но тогда а||а1 (см. теорему о двух прямых, перпендикулярных к плоскости). Но прямые а и а1 не могут быть параллельными друг другу, так как имеют общую точку М. Следовательно наше предположение неверно и существует только одна прямая, проходящая через произвольную точку пространства перпендикулярно данной плоскости. Единственность доказана.

№ слайда 13

Описание слайда:

Примеры задач на доказательство. Примеры задач на вычисленияДано: плоскость (АВС), МВ┴АВ, МВ┴ВС, D(АВС). Доказать:∆MBD - прямоугольный. Доказательство. МВ┴АВ, МВ┴ВС. Следовательно, МВ┴(АВС) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). Тогда МВ┴BD (по определению прямой, перпендикулярной к плоскости). Следовательно, DBM=900 и ∆MBD – прямоугольный, что и требовалось доказать.

№ слайда 14

Описание слайда:

Дано: АВСD - квадрат, МА┴, АВСD . Доказать: BD┴МО. Доказательство. МА┴, следовательно, МА┴ВD (по определению прямой, перпендикулярной к плоскости). ВD┴АО (по свойству квадрата). Тогда ВD┴(АОМ) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости – BD перпендикулярна двум пересекающимся прямым АО и МА, лежащим в этой плоскости). Следовательно, BD┴МО (по определению прямой, перпендикулярной к плоскости), что и требовалось доказать.

Описание слайда:

Проверь себя. Перпендикулярные прямые Перед Вами записаны предложения, разбитые на две части. Подумайте, какой из вариантов нужно выбрать, чтобы получилось верное предложение. Введите номер выбранного варианта. Если две прямые параллельны третьей прямой, то все три прямые всегда лежат в одной плоскости. то они скрещиваются друг с другом. то они параллельны друг другу. то они перпендикулярны друг к другу.

№ слайда 19

Описание слайда:

Проверь себя. Перпендикулярные прямые Перед Вами записаны предложения, разбитые на две части. Подумайте, какой из вариантов нужно выбрать, чтобы получилось верное предложение. Введите номер выбранного варианта. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей то она принадлежит другой плоскости. то другая плоскость не перпендикулярна данной прямой. то она перпендикулярна и другой плоскости. то она всегда параллельна другой плоскости.

Описание слайда:

№ слайда 24

Описание слайда:

Домашнее задание: Л.С.Атанасян и др. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы. 1. Упражнение 129 б) Прямая АМ перпендикулярна к плоскости квадрата ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О. Докажите, что МО^MD. 2. Упражнение 131 В тетраэдре ABCD точка М – середина ребра ВС, АВ=АС, DB=DC. Докажите, что плоскость треугольника ADM перпендикулярна к прямой ВС. 3. Упражнение 134 Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку М прямой а и перпендикулярные к этой прямой, лежат в плоскости, проходящей через точку М и перпендикулярной прямой а. 4. Упражнение 137 Докажите, что через каждую из двух взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых проходит плоскость, перпендикулярная к другой прямой.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. ТЕОРЕМА: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым,лежащим в плоскости,то она перпендикулярна к этой плоскости. Дано: а ^ р, а ^q,р? a, q ? a, р?q=0. Доказать: а ^ a.

Слайд 13 из презентации «Условие перпендикулярности прямой и плоскости» . Размер архива с презентацией 415 КБ.

Геометрия 10 класс

краткое содержание других презентаций

«Геометрия «Параллельность прямой и плоскости»» - Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Свойства. Лемма – вспомогательная теорема. Расположение прямой и плоскости. Параллельность прямых, прямой и плоскости. Определение. Параллельность прямой и плоскости. Признак параллельности прямой и плоскости. Параллельные прямые. Теорема. Прямая и плоскость имеют одну общую точку, то есть пересекаются. Одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости.

«Декартова система» - Определение декартовой системы. Рене Декарт. Прямоугольная система координат. Введение декартовых координат в пространстве. Понятие системы координат. Координаты точки. Декартова система координат. Координаты любой точки. Вопросы для заполнения. Координаты вектора.

«Равносторонние многоугольники» - Гексаэдр (Куб) Куб составлен из шести квадратов. Тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер. Октаэдр Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Икосаэдр Икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер. Октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер. Додекаэдр Додекаэдр составлен из двенадцати равносторонних пятиугольников. Тетраэдр гексаэдр октаэдр икосаэдр додекаэдр.

«Площадь поверхности конуса» - Длина дуги. Радиус основания конуса. Учебник. Как вычислить длину окружности. Тело вращения. Дано. Площадь развёртки. Как выразить величину угла. Измерьте центральный угол развёртки. Вычислите площадь. Конус. Модель конуса. Формула площади полной поверхности конуса. Вычисление площади боковой поверхности модели. Как вычислить длину дуги. Положительные числа. Решение. Задача. Площадь развёртки боковой поверхности конуса.

«Предмет стереометрии» - Сегодня на уроке. Философская школа. Наглядные представления. Планиметрия. Из истории. Евклид. Понятие науки стереометрии. Вселенная. Аксиомы стереометрии. Неопределяемые понятия. Теорема Пифагора. Пифагор. Пентаграмма. Указания. Основные понятия стереометрии. Точки. Египетские пирамиды. Стереометрия. Геометрия. Пространственные представления. Помните ли вы теорему Пифагора. Правильные многогранники.

««Правильные многогранники» 10 класс» - Грани многогранника. Ось симметрии. Цель изучения. Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. Фигура может иметь один или несколько центров симметрии. Какое из перечисленных геометрических тел не является правильным многогранником. Правильный додекаэдр состоит из 12 правильных пятиугольников. Элементы симметрии правильных многогранников. Прогнозируемый результат. Центр О, ось а и плоскость.